03. 齐次坐标：为什么是 3×3 不是 2×2

本篇位置：模块一 · 第 3 篇 ｜ 前置：2D 变换与矩阵 ｜ 预计阅读：35 分钟

你已经在用它了

ui::Transform 明明只处理二维，内部却使用 3×3 矩阵；翻转、旋转和平移最终都被合并进同一个矩阵。

代码来自 frameworks/native/libs/ui/include/ui/Transform.h 和 Transform.cpp（本系列源码摘自 Android 17 分支，不同版本可能略有出入）：

enum RotationFlags : uint32_t {
    ROT_0   = 0,
    FLIP_H  = 1,    // HAL_TRANSFORM_FLIP_H
    FLIP_V  = 2,    // HAL_TRANSFORM_FLIP_V
    ROT_90  = 4,    // HAL_TRANSFORM_ROT_90
    ROT_180 = FLIP_H | FLIP_V,
    ROT_270 = ROT_180 | ROT_90,
    ROT_INVALID = 0x80
};

再看它在 Transform.cpp 里怎么被兑现成真正的变换（删去了错误分支和类型标记的维护）：

status_t Transform::set(uint32_t flags, float w, float h) {
    Transform H, V, R;
    if (flags & ROT_90) {
        // w & h are inverted when rotating by 90 degrees
        std::swap(w, h);
    }
    if (flags & FLIP_H) {
        mat33& M(H.mMatrix);
        M[0][0] = -1;   M[2][0] = w;
    }
    if (flags & FLIP_V) {
        mat33& M(V.mMatrix);
        M[1][1] = -1;   M[2][1] = h;
    }
    if (flags & ROT_90) {
        const float original_w = h;
        mat33& M(R.mMatrix);
        M[0][0] = 0;    M[1][0] = -1;   M[2][0] = original_w;
        M[0][1] = 1;    M[1][1] = 0;
    }
    *this = (R*(H*V));      // ← 三个变换被"乘"到了一起
    return NO_ERROR;
}

struct mat33 {
    vec3 v[3];
    inline const vec3& operator [] (size_t i) const { return v[i]; }
};
mat33 mMatrix;

void Transform::set(float tx, float ty) {
    mMatrix[2][0] = tx;     // 平移量写在第三列
    mMatrix[2][1] = ty;
    mMatrix[2][2] = 1.0f;
    // ...
}

Skia 的 SkMatrix 也是 3×3，而且它把九个槽位一个个起了名字（external/skia/include/core/SkMatrix.h）：

static constexpr int kMScaleX = 0;  //!< horizontal scale factor
static constexpr int kMSkewX  = 1;  //!< horizontal skew factor
static constexpr int kMTransX = 2;  //!< horizontal translation
static constexpr int kMSkewY  = 3;
static constexpr int kMScaleY = 4;
static constexpr int kMTransY = 5;
static constexpr int kMPersp0 = 6;  //!< input x perspective factor
static constexpr int kMPersp1 = 7;  //!< input y perspective factor
static constexpr int kMPersp2 = 8;  //!< perspective bias

最后一行——kMPersp0/1/2——叫透视（perspective）。而 Skia 真的为它准备了一条单独的映射函数（external/skia/src/core/SkMatrix.cpp）：

void SkMatrix::Persp_pts(const SkMatrix& m, SkPoint dst[],
                         const SkPoint src[], int count) {
    // ...
    SkScalar x = sdot(sx, m.fMat[kMScaleX], sy, m.fMat[kMSkewX])  + m.fMat[kMTransX];
    SkScalar y = sdot(sx, m.fMat[kMSkewY],  sy, m.fMat[kMScaleY]) + m.fMat[kMTransY];
    SkScalar z = sdot(sx, m.fMat[kMPersp0], sy, m.fMat[kMPersp1]) + m.fMat[kMPersp2];
    if (z) {
        z = 1 / z;
    }
    dst->fY = y * z;        // ← 除以第三个分量
    dst->fX = x * z;
    // ...
}

四个问题：

1. 二维变换为什么非要用 3×3？ 多出来的那一行一列在干什么，FLIP_H 里的 M[2][0] = w 又表示什么？
2. 平面上哪来的"透视"？ 为什么第三行会叫 Persp？
3. Persp_pts 里算出来的那个 z 是什么？ 为什么要拿 x、y 去除它？平时的 2D 变换又为什么不用除？
4. 源码为什么写成 R*(H*V)？ 如果交换顺序，旋转后的图层为什么会跑出屏幕？

学完你会什么

• 说清平移为什么塞不进 2×2，以及"加一维"是怎么绕开这个限制的。
• 说清点写成 $(x, y, 1)$、方向写成 $(x, y, 0)$ 这个约定，怎么让第 1 篇那张"哪些运算合法"的表自动成立。
• 看懂 3×3 矩阵里三块分区各管什么。
• 说清第三行不是 $(0,0,1)$ 时会发生什么，以及为什么那叫透视。
• 看懂 Transform::asMatrix4() 把 3×3 搬成 4×4 那段代码。

1. 先确认那个限制确实存在

第 1 篇算过：任何 2×2 矩阵乘以原点 $(0,0)$，结果都还是 $(0,0)$。

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \times 0 + b \times 0 \\ c \times 0 + d \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

而平移的定义就是"把所有点（包括原点）挪到别处"。所以：

2×2 矩阵永远做不了平移。 这不是"还没找到合适的数字"，是这类运算本身办不到。

图：缩放、旋转、切变——三种典型的 2×2 变换，形状怎么变都行，但那个黑点始终钉在原地。

这就麻烦了。图形管线希望把一长串变换乘成一个矩阵（第 2 篇第 4 节讲过），可是平移偏偏是最常用的操作之一。要么放弃"全部合并"，每次变换都写成"矩阵乘一下、再单独加个偏移"；要么想办法把平移也变成矩阵乘法。

图形学选了后者。

2. 加一维：把平面搬到 z = 1 那一层

办法出人意料地简单：把二维平面塞进三维空间里，放在 $z = 1$ 这个高度上。

也就是说，平面上的点 $(x, y)$，记成三维的 $(x, y, 1)$。

在三维空间里，有一种叫切变（shear）的线性变换：把每个点沿 $x$ 方向推一段。写成矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

代进去算算，对一个 $z = 1$ 的点：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t \cdot 1 \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

$x$ 加上了 $t$，$y$ 没变，$z$ 还是 1。从这一层平面上看，这就是往右平移了 $t$。

图：整层平面的 $z$ 都是 1，所以"推的距离正比于 $z$"这条规则对这一层的每个点给出的都是同一个数——推得一样远，也就是整体平移。

关键在于：切变是一个标准的线性变换，它在三维里完全可以用矩阵表达。 我们没有发明新运算，只是换了个维度看问题，平移就自动变成了矩阵乘法的一部分。

这套把 $n$ 维问题抬到 $n+1$ 维来做的坐标记法，叫齐次坐标（homogeneous coordinates）。这就是问题 1 的答案。

多出来的那个分量通常写作 $w$：

$$(x,\ y) \quad\longrightarrow\quad (x,\ y,\ w)$$

3. 点的 w 是 1，方向的 w 是 0

第 1 篇列过一张表：点减点得到向量、点加向量得到点、而点加点没有意义。当时说这个区分只能靠命名和类型来维持。

齐次坐标把它编进了数字本身：

• 点（位置）的 $w$ 记作 1；
• 向量（方向、位移）的 $w$ 记作 0。

然后什么都不用管，让 $w$ 分量自己跟着算术走：

运算	$w$ 怎么算	结果的$w$	结论
点 − 点	$1 - 1$	0	得到向量 ✅
点 + 向量	$1 + 0$	1	得到点 ✅
向量 + 向量	$0 + 0$	0	得到向量 ✅
向量 × 3	$0 \times 3$	0	还是向量 ✅
点 + 点	$1 + 1$	2	既不是 1 也不是 0 ❌

最后一行是这个设计最漂亮的地方：非法运算不需要你去记，算出来的 $w = 2$ 自己就是个信号——它既不是点也不是向量。

这还有一个立刻能用的推论。看第 2 节那个平移矩阵，把它作用在一个 $w = 0$ 的向量上：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t \cdot 0 \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}$$

平移对向量不起作用——完全正确，因为"往右 3 米"这个位移，不管你在哪儿说它，都还是"往右 3 米"。同一个矩阵，作用在点上会平移，作用在方向上不会，全靠 $w$ 那一位自动区分。

这个性质在第 4 篇讲法线时会变成一件要紧事：法线是方向，绝不能被平移影响。用 $w=0$ 表示它，这件事就自动成立了。

4. 3×3 矩阵的三块分区

现在可以给整个矩阵划分区了：

$$\begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ p & q & 1 \end{bmatrix}$$

分区	管什么	在源码里
左上 2×2（$a,b,c,d$）	形状：旋转、缩放、翻转、切变	SkMatrix 的 kMScaleX/kMSkewX/kMSkewY/kMScaleY
第三列（$t_x, t_y$）	平移到哪	ui::Transform 的 mMatrix[2][0]、[2][1]；SkMatrix 的 kMTransX/kMTransY
第三行（$p, q$，末位通常是 1）	透视	SkMatrix 的 kMPersp0/kMPersp1/kMPersp2

源码对照：行列式与求逆

ui::Transform 的行列式和求逆实现操作的是 3×3 矩阵左上角的 2×2 线性部分：

float Transform::det() const {
    return mMatrix[0][0] * mMatrix[1][1] - mMatrix[0][1] * mMatrix[1][0];
}

const float idet = 1.0f / det();
result.mMatrix[0][0] =  d*idet;
result.mMatrix[0][1] = -c*idet;
result.mMatrix[1][0] = -b*idet;
result.mMatrix[1][1] =  a*idet;

Transform::inverse() 的注释还明确了平移与线性变换的组合顺序：

// our 3x3 matrix is always of the form of a 2x2 transformation
// followed by a translation: T*M, therefore:
// (T*M)^-1 = M^-1 * T^-1

左上 2×2 的几何含义已经明确；这一篇剩下的篇幅，重点看第三行。

5. 第三行：把它改掉会发生什么

平时第三行是 $(0, 0, 1)$。算一下它对结果的贡献：

$$w' = p \cdot x + q \cdot y + 1 = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 = 1$$

输出的 $w$ 恒为 1，跟输入无关。所以做完变换，点还老老实实待在 $w = 1$ 那一层，什么额外的事都不用做。

现在把 $q$ 改成 0.35 试试：

$$w' = 0 \cdot x + 0.35 \cdot y + 1 = 0.35y + 1$$

$w'$ 随着 $y$ 变了。 点被推离了 $w = 1$ 那一层，$y$ 越大推得越远。

于是问题来了：一个 $w \ne 1$ 的三元组，对应二维平面上的哪个点？

齐次的含义：一整条射线代表同一个点

答案是：把它拉回 $w = 1$ 那一层，看它落在哪。 拉回的办法就是三个分量都除以 $w$。

图：从原点出发穿过某个点的那条射线上，所有点代表的都是同一个二维坐标。$(0.72, 0.41, 0.45)$、$(1.60, 0.90, 1.00)$、$(3.04, 1.71, 1.90)$ 各自除以自己的第三个分量，都得到 $(1.60, 0.90)$。

验算一下最后那个：

$$\left(\frac{3.04}{1.90},\ \frac{1.71}{1.90}\right) = (1.60,\ 0.90) \ \checkmark$$

这个"除以 $w$"的动作叫透视除法（perspective divide）。"齐次"这个名字就是这么来的——同比例放大整个三元组，代表的还是同一个点。

除完之后，画面发生了什么

图：左边第三行是 $(0,0,1)$，$w'$ 恒为 1，除不除都一样，方格还是方格。右边第三行是 $(0, 0.35, 1)$，$y$ 越大 $w'$ 越大，除完之后坐标就被压缩得越狠——方格网变成了梯形，原本平行的竖线不再平行。

平行线不再平行、远处的东西变小——这正是"透视"这个词在日常语境下的意思。所以 Skia 把第三行叫 kMPersp，不是打比方，是名副其实。

这就是问题 2 和问题 3 的答案。回头看 Persp_pts：

SkScalar z = sdot(sx, m.fMat[kMPersp0], sy, m.fMat[kMPersp1]) + m.fMat[kMPersp2];
if (z) { z = 1 / z; }
dst->fX = x * z;
dst->fY = y * z;

那个 z 就是算出来的 $w'$，x * z、y * z 就是除以 $w'$。而 if (z) 那句判断，防的是 $w' = 0$——从几何上说，$w' = 0$ 的点落在"过原点且平行于 $w=1$ 平面"的方向上，那条射线永远碰不到 $w = 1$ 这一层，对应的二维点在无穷远处。

Skia 为什么要单独给透视写一个 Persp_pts？

因为第三行是 $(0,0,1)$ 时，那次除法是纯浪费——除数恒为 1。Skia 用 hasPerspective() 提前分流，没有透视的矩阵走另一条不含除法的快速路径。

这个优化说明了一件事：绝大多数 2D 合成场景根本不碰第三行。 你在 SurfaceFlinger 里天天看到的图层变换，第三行始终是 $(0,0,1)$——这也是"齐次坐标"这个概念可以在合成器代码里隐身多年的原因。它一直在那儿，只是从没被用满。

6. 升到 4×4：同一招再用一次

三维的情况完全对称：三维点 $(x,y,z)$ 记成四维的 $(x,y,z,1)$，用 4×4 矩阵，第四列管平移，第四行管透视。

ui::Transform::asMatrix4() 做的就是把二维的 3×3 塞进 4×4，注释写得很清楚：

mat4 Transform::asMatrix4() const {
    // Internally Transform uses a 3x3 matrix since the transform is meant for
    // two-dimensional values. An equivalent 4x4 matrix means inserting an extra
    // row and column which adds as an identity transform on the third
    // dimension.
    mat4 m = mat4{mat4::NO_INIT};

    m[0][0] = mMatrix[0][0];    // 左上 2x2 原样搬过去
    m[0][1] = mMatrix[0][1];
    m[0][2] = 0.f;
    m[0][3] = mMatrix[0][2];    // 原来的第三行 → 新的第四行

    m[1][0] = mMatrix[1][0];
    m[1][1] = mMatrix[1][1];
    m[1][2] = 0.f;
    m[1][3] = mMatrix[1][2];

    m[2][0] = 0.f;              // 新插进来的第三维：什么都不做
    m[2][1] = 0.f;
    m[2][2] = 1.f;
    m[2][3] = 0.f;

    m[3][0] = mMatrix[2][0];    // 原来的第三列（平移）→ 新的第四列
    m[3][1] = mMatrix[2][1];
    m[3][2] = 0.f;
    m[3][3] = mMatrix[2][2];
    return m;
}

（mat4 和 mat33 一样是列主序，下标念作 m[列][行]，所以 m[3] 是第四列，也就是平移列。）

读法：原来的"形状块"照搬，原来的"平移列"挪到第四列，原来的"透视行"挪到第四行，中间新插进来的那一行一列是单位变换——新的第三维完全不参与。这也符合直觉：一个纯二维的变换，不该对 $z$ 做任何事。

第 4 篇开始，我们要用的就是完整的 4×4 了。

回到源码

问题 1：二维变换为什么要用 3×3？FLIP_H 里的 M[2][0] = w 又表示什么？

因为平移不是线性变换，2×2 矩阵挪不动原点。把平面抬到三维的 $z=1$ 层，三维的切变落到这一层上就表现为二维的平移——于是平移也能被写成矩阵乘法，可以和其他变换合并成一个矩阵。代价就是多出的那一行一列。

所以 M[2][0] = w 就是把水平翻转后的图层沿 $x$ 轴平移回原来的区间 $[0,w]$；它写入的正是 3×3 矩阵的平移列。

源码里的两个翻转也解释了 ROT_180 = FLIP_H | FLIP_V：水平、垂直翻转的线性部分相乘得到

$$\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

这正是 180° 旋转。作用在宽 $w$、高 $h$ 的图层上，平移列再把结果移回原矩形，于是 $(x,y)\to(w-x,h-y)$。

问题 2：平面上哪来的透视？

第三行控制输出的第 4 个分量 $w'$。它是 $(0,0,1)$ 时 $w'$ 恒为 1，什么也不会发生；一旦不是，$w'$ 就随着输入位置变化，除完之后远处被压缩、平行线不再平行——这就是透视。SkMatrix 的 kMPersp0/1/2 是名副其实的命名。

问题 3：Persp_pts 里那个 z 是什么？为什么平时不用除？

z 就是算出来的 $w'$。除以它是把点拉回 $w=1$ 那一层，即透视除法。平时不用除，是因为合成场景里第三行几乎永远是 $(0,0,1)$，$w'$ 恒为 1，除法没有意义——所以 Skia 用 hasPerspective() 分流到不含除法的快速路径。

问题 4：源码为什么是 R*(H*V)？

矩阵作用在列向量上时，靠近向量的先生效，所以源码的顺序是先垂直翻、再水平翻、最后旋转。写成 (H*V)*R 会让旋转提前发生，非方形图层在 90°/270° 情况下就会被映射到错误的位置。

源码开头的 std::swap(w, h) 也属于同一件事：旋转 90° 后宽高互换，后续翻转使用的尺寸必须先恢复到旋转前的逻辑尺寸。

最后，源码里的 det() 和 inverse() 片段只是第 2 篇行列式、逆矩阵公式的直接实现：行列式为 0 时不能求逆；纯旋转的逆可以用转置，带缩放时则不能偷这个捷径。

以后再看到一个 3×3（或 4×4）矩阵，先切三刀：左上角那块看形状，最后一列看平移，最后一行看有没有透视。三块各管各的，一眼就能读出这个矩阵大概要干什么。

自测

1. 齐次坐标 (6, 4, 2) 对应二维平面上的哪个点？

$(3, 2)$。

三个分量都除以 $w = 2$：$(6/2,\ 4/2,\ 2/2) = (3, 2, 1)$，前两个分量就是答案。

顺带一提，$(3, 2, 1)$、$(6, 4, 2)$、$(30, 20, 10)$ 是同一个点的三种写法——这就是"齐次"。

2. 把平移矩阵作用在 (5, 3, 0) 上，结果是什么？这说明了什么？

结果还是 $(5, 3, 0)$，一点没变。

因为 $w = 0$，平移列里的 $t_x$、$t_y$ 都要乘以 $w$ 才能加进来，乘 0 之后就没了。

这说明 $w=0$ 的三元组表示方向而不是位置，而平移对方向本来就不该有影响。"往右 3 米"这个位移，在哪儿说都是"往右 3 米"。

3. 一个 SkMatrix 的第三行是 (0, 0, 2)，其余部分是单位矩阵。它对图形做了什么？

把图形整体缩小到一半。

$w' = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 2 = 2$，恒为 2。所有点除以 2，于是 $(x, y) \to (x/2,\ y/2)$。

这也说明第三行的最后一个数（kMPersp2，Skia 叫 perspective bias）不是必须为 1——它是个全局缩放因子。恒为 1 只是最省事的归一化选择。

4. 变换之后某个点的 w' 算出来是 0，几何上意味着什么？代码里会怎样？

几何上：这个点跑到了无穷远处。$w'=0$ 的方向平行于 $w=1$ 那个平面，那条射线永远碰不到它，没有对应的有限二维坐标。

代码里：如果直接除就是除以零，得到 inf 或 NaN，之后一路污染。所以 Persp_pts 里写的是 if (z) { z = 1 / z; }——$z$ 为 0 时干脆不取倒数，让结果退化成 $(0,0)$ 而不是产生 NaN。

这和第 2 篇讲行列式为 0 不能求逆，是同一类防御。

5. 为什么 asMatrix4() 里 m[2][2] 被设成 1 而不是 0？

因为那是新插进来的第三维（$z$）自己对自己的系数，设成 1 表示"$z$ 原样保留"，也就是对第三维做单位变换。

设成 0 的话，任何点的 $z$ 都会被压成 0，整个三维空间被拍扁成一个平面——那可不是"把二维变换升维"，那是把三维内容毁掉。注释里 "adds as an identity transform on the third dimension" 说的就是这件事。

6. 为什么 ROT_180 可以写成水平翻转和垂直翻转的组合？

两次翻转的线性部分是

$$\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

这正是 180° 旋转；第三列的平移量负责把结果放回原来的矩形。

7. 为什么源码里的组合顺序是 R*(H*V)，而不是 (H*V)*R？

列向量右侧的矩阵先作用，所以 R*(H*V) 的顺序是先垂直翻、再水平翻、最后旋转。交换顺序会让旋转提前发生，非方形图层在 90°/270° 情况下就可能落到错误位置。

小结

概念	一句话	在源码里
为什么加一维	2×2 挪不动原点，平移塞不进去	ui::Transform 和 SkMatrix 都是 3×3
齐次坐标	把平面放到$z=1$ 层，三维切变 = 二维平移	第三列就是平移列
点 vs 方向	点的$w=1$，方向的 $w=0$	平移自动对方向无效
点+点非法	算出$w=2$，既不是点也不是方向	数字自己报错
三块分区	左上=形状，末列=平移，末行=透视	SkMatrix 九个槽位的命名
透视除法	除以$w'$，把点拉回 $w=1$ 那层	Persp_pts 的 z = 1/z; x*z; y*z
齐次的含义	一条过原点的射线代表同一个点	$(3,2,1)$ 与 $(6,4,2)$ 等价
$w'=0$	无穷远点，不能除	if (z) 那句判断
合成器很少用第三行	2D 合成里它几乎恒为$(0,0,1)$	hasPerspective() 分流出快速路径
升到 4×4	同一招再用一次，末列平移、末行透视	asMatrix4()

延伸阅读

• 3Blue1Brown《线性代数的本质》第 9 集附录（三维中的线性变换）：https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
• GAMES101 Lecture 4：Transformation Cont.（齐次坐标部分）：https://games-cn.org/intro-graphics/
• Scratchapixel: Geometry — Row Major vs Column Major Vector：https://www.scratchapixel.com/lessons/mathematics-physics-for-computer-graphics/geometry/row-major-vs-column-major-vector.html
• AOSP / Skia 源码：frameworks/native/libs/ui/Transform.cpp、external/skia/include/core/SkMatrix.h、external/skia/src/core/SkMatrix.cpp