00. 数学速查表

阿豪2026/8/1大约 7 分钟

00. 数学速查表

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这一篇不是课，是一张备查表。

正文各篇会默认你认识 $\sin$ 、 $\log$ 、 $\sum$ 这些记号。如果读到哪里卡在"这个符号是什么意思"上，翻到这里，找到对应那条，看完回去接着读——不要试图先把这一篇背下来。

1. 符号对照

碰到不认识的符号，先在这张表里找。

符号	念作	意思	例子
$\approx$	约等于	差不多相等	$\pi \approx 3.14$
$\ne$	不等于		$AB \ne BA$
$\le$ $\ge$	小于等于 / 大于等于		$0 \le x \le 1$
$\lvert x \rvert$	x 的绝对值	去掉负号	$\lvert -3 \rvert = 3$
$\lvert v \rvert$	向量 v 的长度	同一个记号，看 $v$ 是数还是向量	$\lvert (3,4) \rvert = 5$
$\sqrt{x}$	根号 x	平方后等于 $x$ 的那个数	$\sqrt{9} = 3$
$x^n$	x 的 n 次方	$x$ 自乘 $n$ 次	$2^3 = 8$
$\sum$	求和（读 sigma）	把一串数加起来	见第 6 节
$\Delta$	delta	变化量、差值	$\Delta x$ = x 的变化量
$\cdot$	点乘	两个向量的点积	$N \cdot L$
$\times$	叉乘	两个向量的叉积	$a \times b$
$M^{\mathsf T}$	M 的转置	矩阵沿对角线翻过来	见第 7 节
$M^{-1}$	M 的逆	撤销 $M$ 这个变换	$M^{-1}M = I$
$\hat v$	v hat	长度归一化成 1 的 $v$	$\hat v = v / \lvert v \rvert$
$\in$	属于	落在某个范围里	$z \in [0,1]$

希腊字母只在几个固定位置出现，认识这几个就够了：

字母	念作	本系列里通常指
$\theta$	theta	角度
$\alpha$	alpha	透明度
$\lambda$	lambda	波长；也常用作插值权重
$\gamma$	gamma	幂函数的指数（第 8 篇）
$\pi$	pai	圆周率 3.14159…
$\sigma$	sigma	标准差（高斯核的"胖瘦"）
$\sum$	大写 sigma	求和

2. 角度与弧度

同一个角有两种说法，图形学里两种都会遇到。

角度制：一圈 = 360°。人读起来直观。
弧度制：一圈 = $2\pi$ 。所有数学库（sinf、cosf、GLSL 的 sin）只认弧度。

换算只有一条：

\text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180}

常用值背下来更快：

角度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
弧度	0	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$	$2\pi$

最常见的一个 bug：往 sin() 里直接传角度值。sin(90) 不是 1，而是 0.894——因为它把 90 当成了 90 弧度（约 14 圈）。转出来的东西方向全错、但又不至于崩溃，最难查。

3. sin 与 cos：看一张图就够

不用记公式，记住这张图：

单位圆上的 cos 与 sin

图：画一个半径为 1 的圆。从正右方开始，逆着转 $\theta$ 角，落到圆上某一点——这一点的横坐标就是 $\cos\theta$ ，纵坐标就是 $\sin\theta$ 。这就是它们的定义，不是什么由来已久的公式。

由这张图能立刻读出三件事：

$\sin$ 和 $\cos$ 的值永远在 $-1$ 到 $1$ 之间（因为圆的半径是 1）。
$\cos 0° = 1$ ， $\sin 0° = 0$ （起点在正右方）。
$\cos 90° = 0$ ， $\sin 90° = 1$ （转到正上方）。

把 $\theta$ 从 0 转到一圈，把两个坐标各自画成曲线，就是这两条波：

sin 与 cos 的波形

图： $\cos$ 从 1 出发， $\sin$ 从 0 出发，两条曲线永远差 90°。

常用取值（推导旋转矩阵时会用到）：

$\theta$	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
$\cos\theta$	1	$\frac{\sqrt3}{2}\approx0.866$	$\frac{\sqrt2}{2}\approx0.707$	0.5	0	−1	0
$\sin\theta$	0	0.5	$\frac{\sqrt2}{2}\approx0.707$	$\frac{\sqrt3}{2}\approx0.866$	1	0	−1

唯一需要记住的恒等式：

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

它其实就是圆上一点到圆心的距离等于半径 1——勾股定理换个写法。第 2 篇算旋转矩阵的行列式时会用到它。

4. 四种函数长什么样

四种常见函数

函数	形状	一句话
$y = ax + b$	直线	每往右走 1 格，就升 $a$ 格
$y = x^2$	抛物线	离 0 越远涨得越猛
$y = 2^x$	指数	$x$ 加 1， $y$ 就乘 2
$y = \log_2 x$	对数	指数的反过程： $y$ 乘 2，它才加 1

指数和对数是一对反过程，这个关系在讲深度精度（第 5 篇）和 gamma（第 8 篇）时都会用到：

2^3 = 8 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2 8 = 3

念法："2 的几次方等于 8？答案是 3。"

5. 幂函数 $x^\gamma$ ：第 8 篇的主角

把指数换成任意小数，就得到幂函数。输入输出都限制在 0 到 1 之间时，它的形状只由指数 $\gamma$ 决定：

幂函数曲线族

图： $\gamma > 1$ 把曲线压向右下（整体变暗）， $\gamma < 1$ 把它抬向左上（整体变亮）， $\gamma = 1$ 就是不改动的对角线。

一个具体数字，第 8 篇会反复出现：

0.5^{2.2} \approx 0.218

也就是说，把 0.5 送进一条 $\gamma = 2.2$ 的曲线，出来的是 0.218，只有原来的四成多一点。这个"0.5 进去，0.218 出来"就是"为什么 0.5 不是一半亮"的全部数学内容。

运算律（偶尔用到）：

x^a \cdot x^b = x^{a+b} \qquad (x^a)^b = x^{ab} \qquad x^{-1} = \frac{1}{x} \qquad x^{1/2} = \sqrt{x}

6. 求和符号 $\sum$

$\sum$ 就是"把下面这一串加起来"的缩写，没有别的意思。

\sum_{i=1}^{4} a_i \quad=\quad a_1 + a_2 + a_3 + a_4

念作：" $i$ 从 1 数到 4，每次取出 $a_i$ ，全部加起来。"

第 7 篇讲卷积时会看到这种写法：

\text{output} = \sum_{i} w_i \cdot p_i

它说的是"把每个像素 $p_i$ 乘上自己的权重 $w_i$ ，再全部加起来"——就是加权平均，写成代码就是一个 for 循环里 sum += w[i] * p[i]。

7. 向量与矩阵的记号

向量写成一列数，用小写字母：

v = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \quad\text{或行内写作}\quad v = (3, 4)

长度（也叫模）用勾股定理：

\lvert v \rvert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

归一化是除以自己的长度，得到一个方向相同、长度为 1 的向量：

\hat v = \frac{v}{\lvert v \rvert} = (0.6,\ 0.8)

矩阵写成方阵，用大写字母：

M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

转置 $M^{\mathsf T}$ 是沿主对角线（左上到右下）翻过来，行变列：

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathsf T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

单位矩阵 $I$ 是对角线全 1、其余全 0 的矩阵，作用是"什么都不做"：

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad IM = MI = M

逆矩阵 $M^{-1}$ 是撤销 $M$ 的那个变换，定义就是乘起来等于单位矩阵：

M^{-1}M = I

8. 导数：只需要"变化率"这一层意思

本系列不做微积分推导。你只需要知道一件事：

导数 = 变化率 = 这条曲线在这一点有多陡。

导数大 = 变化剧烈，导数小 = 变化平缓，导数为 0 = 局部走平了。

它在图形学里的三个化身：

法线本质是表面高度的变化率（第 4 篇）；
shader 里的 dFdx/dFdy 是"相邻像素之间纹理坐标变了多少"，GPU 用它来选 mipmap 层级（第 7 篇）；
边缘检测就是找变化率大的地方（亮度突变处 = 边）。

看到 $\frac{dy}{dx}$ 这个记号，读成" $y$ 对 $x$ 的变化率"就够了。

9. 一分钟自检

读完正文若干篇之后，回来看看这几句能不能不假思索地答出来。答不出的翻回对应小节。

1. sin(90) 在 C++ 里返回什么？

约 0.894，不是 1。C 标准库的 sin 收弧度，90 弧度约等于转了 14 圈。要得到 1，应该写 sin(90 * M_PI / 180) 或 sin(M_PI / 2)。

2. 向量 (6, 8) 的长度是多少？归一化之后是什么？

长度 $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ 。

归一化 = 每个分量除以 10，得到 $(0.6,\ 0.8)$ 。检验： $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$ ✓

3. 0.5 的 2.2 次方大概是多少？这个数字为什么重要？

约 0.218。

它是第 8 篇的核心：屏幕上"数值 0.5"的那个灰，实际发出的光只有最大亮度的约 21.8%，不是 50%。所有"混合结果偏暗"的问题都从这里开始。

4. $M^{-1}M$ 等于什么？

单位矩阵 $I$ 。这就是逆矩阵的定义——先做 $M$ 再做 $M^{-1}$ ，等于什么都没做。