齐次坐标

1. 先确认那个限制确实存在

第 1 篇算过：任何 2×2 矩阵乘以原点 $(0,0)$，结果都还是 $(0,0)$。

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \times 0 + b \times 0 \\ c \times 0 + d \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

而平移的定义就是"把所有点（包括原点）挪到别处"。所以：

2×2 矩阵永远做不了平移。 这不是"还没找到合适的数字"，是这类运算本身办不到。

图：缩放、旋转、切变——三种典型的 2×2 变换，形状怎么变都行，但那个黑点始终钉在原地。

这就麻烦了。图形管线希望把一长串变换乘成一个矩阵（第 2 篇第 4 节讲过），可是平移偏偏是最常用的操作之一。要么放弃"全部合并"，每次变换都写成"矩阵乘一下、再单独加个偏移"；要么想办法把平移也变成矩阵乘法。

图形学选了后者。

2. 加一维：把平面搬到 z = 1 那一层

办法出人意料地简单：把二维平面塞进三维空间里，放在 $z = 1$ 这个高度上。

也就是说，平面上的点 $(x, y)$，记成三维的 $(x, y, 1)$。

在三维空间里，有一种叫切变（shear）的线性变换：把每个点沿 $x$ 方向推一段。写成矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

代进去算算，对一个 $z = 1$ 的点：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t \cdot 1 \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

$x$ 加上了 $t$，$y$ 没变，$z$ 还是 1。从这一层平面上看，这就是往右平移了 $t$。

图：整层平面的 $z$ 都是 1，所以"推的距离正比于 $z$"这条规则对这一层的每个点给出的都是同一个数——推得一样远，也就是整体平移。

关键在于：切变是一个标准的线性变换，它在三维里完全可以用矩阵表达。 我们没有发明新运算，只是换了个维度看问题，平移就自动变成了矩阵乘法的一部分。

这套把 $n$ 维问题抬到 $n+1$ 维来做的坐标记法，叫齐次坐标（homogeneous coordinates）。

多出来的那个分量通常写作 $w$：

$$(x,\ y) \quad\longrightarrow\quad (x,\ y,\ w)$$

3. 点的 w 是 1，方向的 w 是 0

第 1 篇列过一张表：点减点得到向量、点加向量得到点、而点加点没有意义。当时说这个区分只能靠命名和类型来维持。

齐次坐标把"平移应该影响点、不该影响方向"这个区别编进了数字本身：

• 点（位置）的 $w$ 记作 1；
• 向量（方向、位移）的 $w$ 记作 0。

让 $w$ 分量跟着算术走，可以自动得到前四行这些有用的结果：

运算	$w$ 怎么算	结果的$w$	结论
点 − 点	$1 - 1$	0	得到向量 ✅
点 + 向量	$1 + 0$	1	得到点 ✅
向量 + 向量	$0 + 0$	0	得到向量 ✅
向量 × 3	$0 \times 3$	0	还是向量 ✅
点 + 点	$1 + 1$	2	非零 $w$，归一化后仍是点；不能拿它当非法标记

最后一行要格外小心：齐次坐标不是类型检查器。 对两个规范化的点

$$P=(p_x,p_y,1),\qquad Q=(q_x,q_y,1)$$

直接相加会得到 $(p_x+q_x,p_y+q_y,2)$；除以 $w=2$ 后，它表示的正是 $P$、$Q$ 的中点。这仍是一个有效的齐次点，并不会因为 $w=2$ 自动"报错"。

问题在于，齐次表示允许整体乘任意非零倍数：同一个点既能写成 $(p_x,p_y,1)$，也能写成 $(2p_x,2p_y,2)$。若直接拿不同倍数的表示相加，归一化后的权重也会跟着改变。因此"点 + 点"不是一个对齐次表示天然良定义的通用运算；要表达中点，应明确写成仿射组合 $\frac12P+\frac12Q$，并让权重和为 1。是否合法仍靠运算语义或类型系统约束，不能只看 $w$。

这还有一个立刻能用的推论。看第 2 节那个平移矩阵，把它作用在一个 $w = 0$ 的向量上：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t \cdot 0 \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}$$

平移对向量不起作用——完全正确，因为"往右 3 米"这个位移，不管你在哪儿说它，都还是"往右 3 米"。同一个矩阵，作用在点上会平移，作用在方向上不会，全靠 $w$ 那一位自动区分。

这个性质在第 4 篇讲法线时会变成一件要紧事：法线是方向，绝不能被平移影响。用 $w=0$ 表示它，这件事就自动成立了。

4. 3×3 矩阵的三块分区

现在可以给整个矩阵划分区了：

$$\begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ p & q & 1 \end{bmatrix}$$

分区	管什么
左上 2×2（$a,b,c,d$）	形状：旋转、缩放、翻转、切变
第三列（$t_x, t_y$）	平移到哪
第三行（$p, q$，末位通常是 1）	透视

在第三行是 $(0,0,1)$ 的仿射情形下，旋转、翻转、缩放写在左上角那块，平移写在第三列。要组合变换，就把对应的 3×3 矩阵相乘（第 2 篇第 4 节），一次矩阵乘法就能合并这些操作。第三行出现 $p,q$ 后，还要结合最后的除法理解各块的作用。

分块读法说明各组系数的用途；逐行读法则说明输出坐标怎样算出来。下面把三行放在一起看，再分别改变每一行。

5. 逐行理解：第一行、第二行与第三行

仍采用矩阵左乘列向量的约定。对输入点 $(x,y,1)$，完整乘法是：

$$\begin{bmatrix} a & b & t_x\\ c & d & t_y\\ p & q & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+by+t_x\\ cx+dy+t_y\\ px+qy+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x'\\y'\\w'\end{bmatrix}$$

这里的撇号表示矩阵乘法后的齐次分量。当 $w'\ne0$ 时，最终二维坐标记为 $(X,Y)$：

$$X=\frac{x'}{w'}=\frac{ax+by+t_x}{px+qy+1}, \qquad Y=\frac{y'}{w'}=\frac{cx+dy+t_y}{px+qy+1}$$

行	直接算出的分量	对最终二维坐标的作用
第一行 $(a,b,t_x)$	$x'=ax+by+t_x$	决定 $X$ 的分子
第二行 $(c,d,t_y)$	$y'=cx+dy+t_y$	决定 $Y$ 的分子
第三行 $(p,q,1)$	$w'=px+qy+1$	决定 $X,Y$ 共用的除数

第一、第二行并不分别代表某一种完整变换：一行只负责一个输出分量，旋转等变换需要两行配合。第三行则能通过共同的除数同时影响两个坐标。

5.1 第一行：改变横向坐标

先固定第二行为 $(0,1,0)$、第三行为 $(0,0,1)$，只改第一行：

$$\begin{bmatrix} a&b&t_x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax+by+t_x\\y\\1\end{bmatrix}$$

此时 $w'=1$，所以 $X=ax+by+t_x$、$Y=y$。三个系数分别决定原来的 $x$、原来的 $y$ 和常量偏移怎样贡献到新的横向坐标。

下面每种情况都从单位矩阵出发，独立修改第一行，输入点均为 $(1,2)$：

第一行	坐标关系	点 $(1,2)$ 的结果	几何效果
$(2,0,0)$	$X=2x,\ Y=y$	$(2,2)$	横向放大 2 倍
$(-1,0,0)$	$X=-x,\ Y=y$	$(-1,2)$	关于 $y$ 轴镜像
$(1,1,0)$	$X=x+y,\ Y=y$	$(3,2)$	横向切变，高度不同则横向偏移不同
$(1,0,3)$	$X=x+3,\ Y=y$	$(4,2)$	所有点沿 $+x$ 平移 3

因此，第一行里的 $b$ 不会直接改变输出的纵坐标；它让输入的纵坐标参与计算输出的横坐标。同样，$t_x$ 位于第三列，却通过第一行的求和改变横向位置。

5.2 第二行：改变纵向坐标

现在固定第一行为 $(1,0,0)$、第三行为 $(0,0,1)$，只改第二行：

$$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ c&d&t_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x\\cx+dy+t_y\\1\end{bmatrix}$$

此时 $X=x$、$Y=cx+dy+t_y$。仍对输入点 $(1,2)$，独立修改第二行：

第二行	坐标关系	点 $(1,2)$ 的结果	几何效果
$(0,2,0)$	$X=x,\ Y=2y$	$(1,4)$	纵向放大 2 倍
$(0,-1,0)$	$X=x,\ Y=-y$	$(1,-2)$	关于 $x$ 轴镜像
$(1,1,0)$	$X=x,\ Y=x+y$	$(1,3)$	纵向切变，横向位置不同则纵向偏移不同
$(0,1,3)$	$X=x,\ Y=y+3$	$(1,5)$	所有点沿 $+y$ 平移 3

$c$ 的作用与上一节的 $b$ 对称：它把输入的横坐标混入输出的纵坐标。这里用 $+y$ 表示方向；若屏幕坐标的 $+y$ 向下，增加 $t_y$ 就是向下移动。

两行同时变化时，可以得到更完整的变换。例如在 $x$ 向右、$y$ 向上的坐标系中，绕原点逆时针旋转 $90^\circ$：

$$\begin{bmatrix} 0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-y\\x\\1\end{bmatrix}$$

第一行给出 $X=-y$，第二行给出 $Y=x$，两者一起将 $(1,2)$ 变成 $(-2,1)$。只改其中一行不能完成这次旋转。

5.3 第三行：改变两个坐标共用的除数

前两节固定第三行为 $(0,0,1)$。对规范化的输入点 $(x,y,1)$，它给出的结果是：

$$w' = p \cdot x + q \cdot y + 1 = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 = 1$$

输出的 $w'$ 恒为 1，不随输入的 $x,y$ 改变。所以做完变换，点仍在 $w=1$ 那一层，第一、第二行算出的 $x',y'$ 就是最终二维坐标。

现在让前两行恢复单位矩阵的形式 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$，只把第三行里的 $q$ 改成 0.35：

$$w' = 0 \cdot x + 0.35 \cdot y + 1 = 0.35y + 1$$

此时 $x'=x$、$y'=y$，但 $w'$ 随着 $y$ 变了。虽然前两行没有修改，最终仍要把两个坐标一起除以 $0.35y+1$，所以 $X$ 和 $Y$ 都会受到影响。

这就需要明确齐次三元组与二维点的对应关系。

齐次的含义：一整条射线代表同一个点

答案是：把它拉回 $w = 1$ 那一层，看它落在哪。 拉回的办法就是三个分量都除以 $w$。

图：从原点出发穿过某个点的那条射线上，所有点代表的都是同一个二维坐标。图中使用 $(0.720, 0.405, 0.450)$、$(1.600, 0.900, 1.000)$、$(3.040, 1.710, 1.900)$，各自除以第三个分量，都得到 $(1.60, 0.90)$。

验算一下最后那个：

$$\left(\frac{3.04}{1.90},\ \frac{1.71}{1.90}\right) = (1.60,\ 0.90) \ \checkmark$$

这个"除以 $w$"的动作叫透视除法（perspective divide）。"齐次"这个名字就是这么来的——同比例放大整个三元组，代表的还是同一个点。

至此问题 3 的答案也齐了：多出来的坐标 $w$，记的是这个点在三维空间里所处的"高度"——点待在 $w=1$ 那一层，所以记 1；方向用 $w=0$ 声明"我不参与平移"；变换之后 $w'$ 不再是 1，就用三个分量除以 $w'$，把它拉回那一层。

除完之后的几何效果

图：左边第三行是 $(0,0,1)$，$w'$ 恒为 1，除不除都一样，方格还是方格。右边第三行是 $(0, 0.35, 1)$，$y$ 越大 $w'$ 越大，除完之后坐标就被压缩得越狠——方格网变成了梯形，原本平行的竖线不再平行。

平行线不再平行、远处的东西变小——这正是"透视"这个词在日常语境下的意思。所以第三行被称为透视行，不是打比方，是名副其实。

拿一个具体的数走一遍。第三行取 $(0, 0.35, 1)$、其余部分保持单位矩阵，作用在点 $(1, 2)$ 上：先算输出的第三个分量

$$w' = 0 \times 1 + 0.35 \times 2 + 1 = 1.7$$

再把 $x$、$y$ 除以 $w'$：

$$(1,\ 2) \quad\longrightarrow\quad \left(\frac{1}{1.7},\ \frac{2}{1.7}\right) \approx (0.59,\ 1.18)$$

本来 $y = 2$ 的地方，变换后被"压缩"到了约 $1.18$；而 $y = 0$ 处 $w' = 1$，分毫未动。$y$ 越大压得越狠——正是上图右边那幅样子。

完整计算分成两步：先用三行分别算出 $x',y',w'$，再在 $w'\ne0$ 时得到 $(x'/w',y'/w')$。本例因为前两行保持单位形式，才可以直接用原始 $x,y$ 作分子；一般矩阵不能省略前两行的计算。

当 $w'=0$ 且 $(x',y')\ne(0,0)$ 时，输出表示无穷远点，没有有限的二维坐标，不能进行这次除法。若三个输出分量全为零，则不是有效的齐次点。

仿射变换可以省去除法。 对规范化输入点，第三行是 $(0,0,1)$ 时除数恒为 1，因此可直接使用前两行的结果。常见的二维平移、旋转、缩放和切变都属于这种情形；具有透视效果的二维变换则需要保留这一步。

6. 升到 4×4：同一招再用一次

三维的情况完全对称：三维点 $(x,y,z)$ 记成四维的 $(x,y,z,1)$，用 4×4 矩阵，第四列管平移，第四行管透视。

那一个纯二维的 3×3 怎样搬进 4×4？直接把它写出来：

$$\begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ p & q & 1 \end{bmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{bmatrix} a & b & 0 & t_x \\ c & d & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ p & q & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

读法：原来的"形状块"照搬，原来的"平移列"挪到第四列，原来的"透视行"挪到第四行，中间新插进来的那一行一列是单位变换——新的第三维完全不参与。这也符合直觉：一个纯二维的变换，不该对 $z$ 做任何事。验一下：新矩阵的第三行是 $(0, 0, 1, 0)$，作用在 $(x, y, z, 1)$ 上，$z$ 原样进来、原样出去。

顺带一提：上面的矩阵按数学惯例书写。同一个 4×4 落到具体代码里时，存储布局有行主序、列主序两种约定，同一个变换的数字排法会不一样，见延伸阅读。

第 4 篇开始，我们要用的就是完整的 4×4 了。

自测

问题 1：为什么 2×2 装不下平移？

因为 2×2 矩阵乘法是线性变换，而线性变换必把原点映到原点——无论四个数字怎么填，原点乘完还是原点（第 1 节）。可平移的定义恰恰是"把所有点（包括原点）挪到别处"。实验图里缩放、旋转、切变三种变换，形状怎么变都行，原点上的黑点却始终钉在原地。这不是还没找到合适的数字，是这类运算本身办不到。

问题 2：加一维之后，平移、旋转、翻转怎样合并进同一个矩阵？

把平面抬到 $z=1$ 那一层，三维的切变落到这层上就是二维的平移（第 2 节），平移从此也能写成矩阵乘法。于是 3×3 矩阵可以一次装下三块分区：左上 2×2 写旋转、翻转、缩放、切变，第三列写平移（第 4 节）。比如把一个图层水平翻转再摆回原位：翻转写进左上块，图形翻到负半轴之后，第三列再写上补偿的平移把它拉回来——全部装在同一个矩阵里，一次乘法完成。

问题 3：多出来的那一维坐标（w）代表什么？

它是点被抬进三维空间后的第三个坐标。点记 $w=1$，因为平面本身就放在 $w=1$ 那一层；方向记 $w=0$，平移因此自动对它不起作用（第 3 节）。变换之后 $w'$ 不再是 1 时，三个分量除以 $w'$ 就能把点拉回那一层——这个除法叫透视除法，顺带解锁了"远处变小"的透视效果（第 5 节）。

以后再看到一个 3×3（或 4×4）矩阵，先切三刀：左上角那块看形状，最后一列看平移，最后一行看有没有透视。三块各管各的，一眼就能读出这个矩阵大概要干什么。

1. 齐次坐标 (6, 4, 2) 对应二维平面上的哪个点？

$(3, 2)$。

三个分量都除以 $w = 2$：$(6/2,\ 4/2,\ 2/2) = (3, 2, 1)$，前两个分量就是答案。

顺带一提，$(3, 2, 1)$、$(6, 4, 2)$、$(30, 20, 10)$ 是同一个点的三种写法——这就是"齐次"。

2. 把平移矩阵作用在 (5, 3, 0) 上，结果是什么？这说明了什么？

结果还是 $(5, 3, 0)$，一点没变。

因为 $w = 0$，平移列里的 $t_x$、$t_y$ 都要乘以 $w$ 才能加进来，乘 0 之后就没了。

这说明 $w=0$ 的三元组表示方向而不是位置，而平移对方向本来就不该有影响。"往右 3 米"这个位移，在哪儿说都是"往右 3 米"。

3. 一个 3×3 矩阵的第三行是 (0, 0, 2)，其余部分是单位矩阵。它对图形做了什么？

把图形整体缩小到一半。

$w' = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 2 = 2$，恒为 2。所有点除以 2，于是 $(x, y) \to (x/2,\ y/2)$。

这也说明第三行的最后一个数不是必须为 1——它对所有点来说是个全局缩放因子。恒为 1 只是最省事的归一化选择。

4. 变换之后某个点的 w' 算出来是 0，几何上意味着什么？能否直接当作原点？

若 $x',y'$ 不同时为 0，输出表示无穷远点。$w'=0$ 的方向平行于 $w=1$ 平面，没有对应的有限二维坐标。若三个分量全为 0，则不是有效的齐次点。

不能把它改成 $(0,0)$：那会把无穷远点错误地变成原点。应保留它的齐次含义，或在具体投影过程中按有效范围处理图元，避免直接除以零。

5. 把二维的 3×3 搬进三维的 4×4 时，为什么新插进来的第三维对角位置要设成 1 而不是 0？

因为那是新插进来的第三维（$z$）自己对自己的系数，设成 1 表示"$z$ 原样保留"，也就是对第三维做单位变换。

设成 0 的话，任何点的 $z$ 都会被压成 0，整个三维空间被拍扁成一个平面——那可不是"把二维变换升维"，那是把三维内容毁掉。

6. 为什么水平翻转加垂直翻转等于旋转 180°？

两次翻转的线性部分是

$$\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

这正是 180° 旋转；第三列的平移量负责把结果放回原来的矩形。

7. 把翻转和旋转合并进同一个矩阵时，为什么"先翻转再旋转"和"先旋转再翻转"的结果不一样？

矩阵作用在列向量上时，靠近向量的先生效。所以"先垂直翻、再水平翻、最后旋转"和"先旋转、再翻转"是两种完全不同的复合变换，非方形的图形换了顺序就会落到不同的位置——矩阵乘法不满足交换律，第 2 篇里已经用字母 F 见识过了。

8. 只把第一行改成 (1,1,0)，或只把第二行改成 (1,1,0)，对点 (1,2) 的结果各是什么？其余行保持单位矩阵形式。

只改第一行时，$x'=x+y=3$、$y'=y=2$、$w'=1$，结果为 $(3,2)$，是横向切变。

只改第二行时，$x'=x=1$、$y'=x+y=3$、$w'=1$，结果为 $(1,3)$，是纵向切变。

相同的三个系数放在不同行，计算的是不同的输出分量，不能只看数字而忽略所在行。

9. 矩阵三行分别为 (2,0,3)、(0,1,−1)、(0,0.5,1)，点 (1,2) 最终变到哪里？

先分别计算三个齐次分量：

$$x'=2\times1+3=5,\qquad y'=2-1=1,\qquad w'=0.5\times2+1=2$$

再进行归一化：

$$(X,Y)=\left(\frac52,\frac12\right)=(2.5,0.5)$$

除数来自第三行，分子来自前两行；不能算完 $w'$ 后直接拿原始点 $(1,2)$ 去除。

小结

概念	一句话	对应位置
为什么加一维	2×2 挪不动原点，平移塞不进去	第 1 节：三种 2×2 变换都挪不动原点
齐次坐标	把平面放到$z=1$ 层，三维切变 = 二维平移	第 2 节：一次切变让整层平移
点 vs 方向	点的$w=1$，方向的 $w=0$	自测 2：平移对 $(5,3,0)$ 不起作用
点+点的限制	$w=2$ 归一化后仍是点，不能充当非法标记	第 3 节：点+点归一化后是中点
三块分区	左上=形状，末列=平移，末行=透视	第 4 节：三色分区图
第一行	算出 $x'=ax+by+t_x$，决定横坐标的分子	第 5.1 节：横向缩放、镜像、切变与平移
第二行	算出 $y'=cx+dy+t_y$，决定纵坐标的分子	第 5.2 节：纵向变化及两行配合的旋转
第三行	算出 $w'=px+qy+1$，提供两个坐标的共同除数	第 5.3 节：前两行不变也能改变最终坐标
透视除法	除以$w'$，把点拉回 $w=1$ 那层	第 5 节：方格网变梯形
齐次的含义	一条过原点的射线代表同一个点	第 5 节：同一射线上的三个三元组
$w'=0$	非零齐次输出表示无穷远点，不能直接除或改成原点	自测 4：区分无穷远点与无效的全零输出
仿射情形	第三行是 $(0,0,1)$，规范化点的 $w'$ 恒为 1	第 5.3 节：可直接使用前两行结果
升到 4×4	同一招再用一次，末列平移、末行透视	第 6 节：新插的行与列是单位变换

延伸阅读

• 3Blue1Brown《线性代数的本质》第 9 集附录（三维中的线性变换）：https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
• GAMES101 Lecture 4：Transformation Cont.（齐次坐标部分）：https://games-cn.org/intro-graphics/
• Scratchapixel: Geometry — Row Major vs Column Major Vector：https://www.scratchapixel.com/lessons/mathematics-physics-for-computer-graphics/geometry/row-major-vs-column-major-vector.html

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