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矩阵与线性变换

阿豪2026/7/29大约 14 分钟图形学数学基础图形学数学基础旋转缩放逆转置

本篇位置：模块一 · 第 2 篇 ｜ 前置：向量与坐标系 ｜ 预计阅读：25 分钟

学习目标

  • 把矩阵读成「对整个空间做的一次变换」，而不是一张摆数字的表格。
  • 记住旋转、缩放、剪切矩阵的形状，并能从「基向量变成了什么」直接推导出它们，而不是死记硬背。
  • 会组合多个变换，并能准确解释矩阵乘法顺序为什么会影响结果。
  • 说清楚逆矩阵与转置在图形学里的两个高频用途：撤销一个变换、以及正确地变换法线。

矩阵：变换后的基向量按列摆放

上一篇讲向量时提到，任何一个二维向量 v=(x,y)v=(x,y) 都可以写成 xi^+yj^x\hat i + y\hat j——沿 xx 轴基向量（basis vector）i^=(1,0)\hat i=(1,0) 走 xx 步，再沿 yy 轴基向量 j^=(0,1)\hat j=(0,1) 走 yy 步。这个看似平淡的拆分，正是理解矩阵的钥匙。

一个线性变换（linear transformation）——你可以先粗略理解成「保持网格线平行且等距、原点不动的空间变形」——完全由它把 i^\hat i、j^\hat j 变到哪里决定。假设变换后 i^\hat i 落到了 i^′\hat i'，j^\hat j 落到了 j^′\hat j'，那么根据线性性（可以拆开、可以按比例缩放），原来的向量 v=xi^+yj^v=x\hat i+y\hat j 变换后就落在 xi^′+yj^′x\hat i' + y\hat j' 这个位置。把 i^′\hat i'、j^′\hat j' 当作两列摆在一起，写成矩阵 M=[ i^′  j^′ ]M=[\,\hat i'\ \ \hat j'\,]，上面这句话就变成了矩阵乘法的定义本身：Mv=xi^′+yj^′Mv = x\hat i' + y\hat j'。换句话说，矩阵乘法的计算规则不是谁拍脑袋定的，它就是「把变换后的基向量按坐标加权求和」这件事的记账方式。

这个视角（常被称为 3Blue1Brown 视角）带来一个立刻可用的读图技巧：拿到任意一个 2×22\times2 矩阵，只看它的第一列，就知道 i^\hat i 被变成了什么方向和长度；只看第二列，就知道 j^\hat j 被变成了什么。反过来，想构造一个变换，只需要想清楚「i^\hat i 应该去哪、j^\hat j 应该去哪」，把答案按列摆好，矩阵就写出来了——下一节的旋转、缩放、剪切矩阵全部用这个方法推导。

下图把这个直觉具象化了：每个子图先画出变换前的网格（等距、互相垂直的坐标线），再把同一个矩阵作用到一个大写字母 F 的多边形上（选 F 是因为它不对称，能看出旋转方向和是否被镜像）。四个子图分别是恒等变换、旋转 30°、非均匀缩放 (1.5,0.6)(1.5, 0.6)、以及剪切系数 k=0.6k=0.6 的剪切变换；网格线弯折或倾斜的方式，直接对应着矩阵的两列把 i^\hat i、j^\hat j 送到了哪里。

线性变换

图：四种矩阵对网格与字母 F 的作用。灰色细线是变换后的网格（原本等距垂直的坐标线），橙色多边形是变换后的字母 F；对比网格的形变方式就能读出矩阵在做什么。

三种基本 2D 变换

有了「矩阵的列 = 基向量的落点」这个工具，三种最常用的 2D 变换都能几笔推出来，而不必死记公式。

旋转（rotation）：把 i^=(1,0)\hat i=(1,0) 绕原点逆时针转过角度 θ\theta，落点是 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)；把 j^=(0,1)\hat j=(0,1) 同样转过 θ\theta，落点是 (−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta,\cos\theta)（把 j^\hat j 看成 i^\hat i 再转 90°，容易验证）。两列摆在一起就是

R(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}

对照上图第二个子图：网格线整体转了 30°，长度和夹角都没变——这正是旋转矩阵的特征，马上第 6 节会看到它的行列式恒为 1。

缩放（scale）：沿 xx、yy 轴独立拉伸，i^\hat i 只在长度上变成 (sx,0)(s_x,0)，j^\hat j 变成 (0,sy)(0,s_y)，方向都不变。矩阵是对角矩阵

diag(sx,sy)=[sx00sy]\mathrm{diag}(s_x,s_y)=\begin{bmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{bmatrix}

图中第三个子图用的是 (1.5,0.6)(1.5,0.6)：横向被拉长，纵向被压扁，网格依然是矩形（因为坐标轴方向没被扰动），但格子不再是正方形。

剪切（shear）：i^\hat i 保持不动，j^\hat j 沿 xx 方向偏移 kk 个单位，变成 (k,1)(k,1)，矩阵是

[1k01]\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}

图中第四个子图（k=0.6k=0.6）网格从矩形变成了平行四边形——竖线全部倾斜了，横线完全没动，这正对应「只有 j^\hat j 那一列变了」。

值得专门指出一件事：平移（translation）不是线性变换。线性变换的定义要求原点不动（T(0)=T(0⋅v)=0⋅T(v)=0T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0），而平移恰恰是把每个点都挪动一个固定的偏移量 v↦v+tv\mapsto v+t，原点会被挪到 tt——只要 t≠0t\neq 0，这个映射就不满足线性性，因此不存在任何 2×22\times2 矩阵能表示它。这不是一个可以绕过的小麻烦：旋转、缩放、剪切能用矩阵乘法优雅地表示和组合，平移却格格不入，逼得图形学要引入第三篇要讲的齐次坐标（homogeneous coordinates）——用多加一维的技巧把平移也塞进矩阵乘法的框架里。这里先留下这个悬念。

变换组合与顺序

多个矩阵可以像函数一样复合。先对向量 vv 施加变换 M1M_1，再施加变换 M2M_2，结果是 M2(M1v)M_2(M_1v)；矩阵乘法满足结合律，所以这等于 (M2M1)v(M_2M_1)v——把「先 M1M_1 后 M2M_2」这句话翻译成矩阵语言时，M1M_1 写在右边（离向量近），M2M_2 写在左边，乘出来的合成矩阵 M2M1M_2M_1 才是「先 M1M_1 后 M2M_2」这个组合动作本身。读矩阵乘法链时，永远要从最靠近向量的那一项开始读起，这个习惯在后面几乎每一篇涉及 MVP 矩阵（Model-View-Projection）的地方都会用到。

矩阵乘法不满足交换律，「先旋转后缩放」和「先缩放后旋转」是两个不同的变换——不是记不住顺序的小瑕疵，而是几何上确实不一样。用一组具体数字算一遍就很清楚：取旋转 90° 的矩阵 R=[0−110]R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}，缩放矩阵 S=diag(2,1)S=\mathrm{diag}(2,1)，作用在向量 v=(1,0)v=(1,0) 上。

先缩放后旋转（矩阵写作 RSRS，SS 靠近 vv 先生效）：先算 Sv=(2,0)Sv=(2,0)，再对这个结果转 90°，得到 R(2,0)=(0,2)R(2,0)=(0,2)。

先旋转后缩放（矩阵写作 SRSR）：先算 Rv=(0,1)Rv=(0,1)（vv 转 90° 后指向 yy 轴正方向），再对这个结果做 (2,1)(2,1) 缩放，得到 (0×2, 1×1)=(0,1)(0\times2,\,1\times1)=(0,1)。

同一个起点 (1,0)(1,0)，RSRS 把它送到 (0,2)(0,2)，SRSR 把它送到 (0,1)(0,1)——长度差了一倍，RS≠SRRS\neq SR 一目了然。直觉上也说得通：先缩放会把向量在 xx 方向拉长到 2，随后整体旋转会把这个「已经被拉长的量」转到 yy 轴上，于是 yy 分量继承了那个 2；而先旋转会把向量转到 yy 轴上，此时它已经离开了被拉伸的 xx 轴，后续的缩放对它的 yy 分量只按 sy=1s_y=1 缩放，量值自然留在 1。这个例子也解释了为什么图形引擎里「先缩放模型、再旋转、再平移」和「先旋转、再缩放、再平移」会画出两个完全不同的物体——顺序错了，矩阵不会报错，画面会。

行主序与列主序

这里最容易把两件不同的事情混在一起：数学写法决定向量是列向量还是行向量、矩阵写在左边还是右边；内存布局决定矩阵元素在一段连续内存里怎么摆放。二者是正交的两个问题，工程上却经常被打包讨论，值得拆开说清楚。

本篇的推导都遵循数学书最常见的写法：向量是列向量，矩阵写在左边、右乘向量，即 v′=Mvv'=Mv——这也是矩阵「列」直接对应基向量落点（第 1 节）的原因。但矩阵要拍平成一段连续内存交给 GPU 时，还有第二个问题：先存第一行还是先存第一列？

行主序（row-major）：连续存放第一行、再存第二行……C/C++ 里 float m[4][4] 默认就是这个布局。列主序（column-major）：连续存放第一列、再存第二列……GLSL 与配套的 GLM 库都用这个约定，一个 glm::mat4 在内存里就是 16 个 float，前 4 个就是第一列。

两种布局没有对错之分，纯属编码约定；但若从行主序习惯的自研矩阵库取出数据，原样交给期待列主序的 GLSL uniform，GPU 拿到的其实是被转置过的矩阵——非对称变换（旋转、剪切）会算错，而恰好对称的矩阵（比如均匀缩放）看不出问题，这正是这类 bug 常在"某些特定物体或角度下"才暴露的原因。

glUniformMatrix4fv(location, count, transpose, value) 的第三个参数就是为此准备的：数据若是行主序，把 transpose 设成 GL_TRUE，驱动会在上传时帮你转置。但这里有个 Android/GLES 工程师尤其要记住的限制：桌面 OpenGL 允许 transpose 取 GL_TRUE 或 GL_FALSE，而 OpenGL ES 只接受 GL_FALSE——传 GL_TRUE 会直接触发 GL_INVALID_VALUE 错误。也就是说在 GLES 上，行主序矩阵必须自己先转置好再上传，不能指望驱动代劳；这也是 GLM 默认按列主序存储的原因——glm::value_ptr() 配 GL_FALSE 就能直接传给 GLES。

逆与转置

逆矩阵（inverse matrix）M−1M^{-1} 满足 M−1M=IM^{-1}M=I，几何意义是「撤销」MM 这个变换。一般求逆代价不低，但旋转矩阵有个便宜的捷径：旋转矩阵是正交矩阵（orthogonal matrix，各列单位长度且两两垂直），对正交矩阵而言

R−1=RTR^{-1}=R^T

转置（transpose）只需沿对角线翻一下，几乎零成本，比通用求逆快得多。直觉上也容易验证：把 R(θ)R(\theta) 转置，两个 sin⁡θ\sin\theta 位置互换、符号相当于取反，结果恰好等于 R(−θ)R(-\theta)——「反着转回去」正是撤销旋转该做的事。

转置的第二个高频用途更隐蔽：变换法线（normal）。假设模型顶点用矩阵 MM 变换了，一个自然但错误的想法是「法线也用同一个 MM 变一下」——这在纯旋转、均匀缩放时凑巧是对的，但只要 MM 含非均匀缩放就会把法线搞歪。用一个能亲手验算的例子看清楚：取切线方向 t=(1,1)t=(1,1)，对应的法线是与它垂直的 n=(1,−1)n=(1,-1)（验证：t⋅n=1−1=0t\cdot n=1-1=0）。用 M=diag(2,1)M=\mathrm{diag}(2,1) 变换表面：切线变成 t′=Mt=(2,1)t'=Mt=(2,1)。若直接用 MM 变换法线，得到 nnaive=Mn=(2,−1)n_{\text{naive}}=Mn=(2,-1)；检验垂直关系，t′⋅nnaive=4−1=3≠0t'\cdot n_{\text{naive}}=4-1=3\neq0——法线已不再垂直于表面。

正确做法是用逆转置矩阵：

n′=(M−1)Tnn'=(M^{-1})^Tn

代入例子，M−1=diag(0.5,1)M^{-1}=\mathrm{diag}(0.5,1)（对角矩阵转置等于自身），得 n′=(0.5,−1)n'=(0.5,-1)；再检验，t′⋅n′=1−1=0t'\cdot n'=1-1=0，垂直关系保住了。直觉上，MM 怎么拉伸空间，法线就要反着补偿——逆转置矩阵恰好抵消了非均匀缩放带来的角度畸变。当 MM 是纯旋转（正交矩阵）时 M−1=MTM^{-1}=M^T，(M−1)T(M^{-1})^T 退化成 MM 本身，这也解释了为什么纯旋转、均匀缩放场景里「法线直接乘 MM」凑巧是对的。反过来，这正是排查「模型非均匀缩放后光照突然不对」这类 bug 时第一个要检查的地方：法线矩阵有没有单独算成 (M−1)T(M^{-1})^T，而不是偷懒直接复用顶点变换矩阵。

行列式：面积缩放与方向

行列式（determinant）det⁡M\det M 有一个很直接的几何含义：单位正方形（或者说 i^\hat i、j^\hat j 围成的那块面积为 1 的区域）经过 MM 变换后，面积变成了 ∣det⁡M∣|\det M|——它就是这个变换的「面积缩放因子」。三种取值情形分别对应三种不同的几何后果。

det⁡M>0\det M>0：面积按 ∣det⁡M∣|\det M| 缩放，绕序（winding order，即顶点按顺时针还是逆时针排列）保持不变。旋转矩阵是一个很好的验证：det⁡R(θ)=cos⁡2θ−(−sin⁡θ)(sin⁡θ)=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\det R(\theta)=\cos^2\theta-(-\sin\theta)(\sin\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1，说明旋转既不缩放面积也不改变绕序——这符合直觉，旋转只是刚性地转个方向。剪切矩阵的行列式 det⁡[1k01]=1×1−k×0=1\det\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}=1\times1-k\times0=1 也恒为 1，是个稍反直觉但值得记住的事实：剪切看起来把图形"拉斜"了，但严格保面积。

det⁡M<0\det M<0：面积仍按 ∣det⁡M∣|\det M| 缩放，但绕序被翻转——这就是镜像（mirror）。图形学里一个经典翻车场景是：为了做左右镜像的角色模型，直接把模型矩阵的 scale.x\mathrm{scale.x} 设成 −1-1，这个矩阵的行列式变成负数，所有三角形的顶点绕序（原本约定逆时针为正面）全部反了过来。如果渲染管线的背面剔除（backface culling）设置没有跟着调整（比如 OpenGL 里对应的 glFrontFace 状态），本该朝向摄像机的面会被当成背面剔除掉，模型看起来大片镂空或者内部结构透出来——这正是第 1 篇结尾提到的「绕序反了，法线就反向」在行列式语言下的另一种表述。

det⁡M=0\det M=0：矩阵不可逆，空间被压扁成了更低的维度——比如整张平面被压成一条线，或者某个方向的缩放系数变成了 0。这时候上一节的求逆操作没有解：数值上会表现为除以一个等于（或极接近）0 的行列式，产生 inf 或 NaN。在实际调试中，一个模型矩阵的行列式突然变成 0（或极小），几乎总是意味着某个缩放分量被意外置零了——这是排查「物体突然消失或者变换后计算爆炸」这类问题时值得优先检查的一个数值。

🎯 岗位关联

超分辨率（super-resolution）与插帧算法里大量出现的图像 warp（按运动场或参考帧把像素重新采样到新位置），本质上就是对每个像素坐标做一次矩阵变换（往往还叠加了透视或光流场的局部近似）——这篇讲的旋转、缩放、剪切组合，正是构造和理解这些 warp 矩阵的基础语言。做渲染分析时，RenderDoc 里能看到的 Transform 面板、每个 draw call 的 Model/View/Projection 矩阵，全都是本篇这套矩阵在起作用——读懂一个矩阵的列在做什么，是快速判断"这一步变换到底把顶点送去了哪里"的最短路径。而法线逆转置公式 n′=(M−1)Tnn'=(M^{-1})^Tn，是排查"模型做了非均匀缩放之后光照突然不对"这一类 bug 时最直接的钥匙：只要看到场景里有非均匀缩放（角色装备、拉伸的地形、程序化生成的物体），法线矩阵有没有单独算成逆转置，就是第一个该问的问题。

小结

变换矩阵形状（2D）逆的性质
恒等 identityII自逆，I−1=II^{-1}=I
旋转 rotation[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}正交矩阵，R−1=RT=R(−θ)R^{-1}=R^T=R(-\theta)
缩放 scalediag(sx,sy)\mathrm{diag}(s_x,s_y)对角矩阵，M−1=diag(1/sx, 1/sy)M^{-1}=\mathrm{diag}(1/s_x,\,1/s_y)（需 sx,sy≠0s_x,s_y\neq0）
剪切 shear[1k01]\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}M−1=[1−k01]M^{-1}=\begin{bmatrix}1&-k\\0&1\end{bmatrix}，行列式恒为 1
平移 translation非线性，2×2 矩阵无法表示需齐次坐标扩展一维（见下一篇）

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